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ALGUMAS INFORMAÇÕES PARA:
MATEMÁTICA-5 e MATEMÁTICA-6
MATEMÁTICA - 6ºANO / Ano Lectivo 2012/2013:
Vá para: http://www.markitto7.weebly.com/
Definição:
A Matemática é a ciência dos números e desempenha um papel importante em todas as outras ciências. Está dividida em três ramos básicos:
1. MATEMÁTICA PURA:
Estuda o que a Matemática pode fazer, sem qualquer uso prático.
2. MATEMÁTICA APLICADA:
Relaciona a Matemática com outras actividades.
3. ESTATÍSTICA:
Trata da recolha, organização, interpretação e análise de dados contidos em tabelas, quadros e/ou gráficos.
Trata da recolha de grandes quantidades de números e da sua análise, como, por exemplo, no caso do censo da população de Portugal, feito com alguns anos de intervalo, para depois se estudarem esses números e verificar o que dizem sobre o país.
A MATEMÁTICA É UMA CIÊNCIA QUE NOS AJUDA A SOLUCIONAR PROBLEMAS DO NOSSO DIA-A-DIA RELACIONADOS COM NÚMEROS E COM ESPAÇO.
- GEOMETRIA:
a) Ramo da Matemática que tem como objectivo fundamental o estudo das linhas e figuras e, também, das formas e do espaço.
b) Ramo da Matemática que estuda as propriedades e medidas de extensão nos seus três aspectos: Linha, Superfície e Volume.
c) Ciência que estuda a extensão considerada sob os seus três aspectos: a Linha, a Superfície e o Volume.
A PALAVRA "GEOMETRIA" TEM ORIGEM NA PALAVRA GREGA "GEO" QUE SIGNIFICA "TERRA", E "METRIA", QUE SIGNIFICA "MEDIDA".
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MATERIAL NECESSÁRIO:
1 esferográfica (*)
1 lápis (*)
1 borracha / 1 afiadeira (*)
1 régua, preferencialmente transparente e até 20 cm
1 esquadro, preferencialmente transparente e pequeno
1 transferidor, preferencialmente transparente e pequeno
1 compasso
1 caderno, preferencialmente, quadriculado e A4 (*)
ATENÇÃO: No caso do aluno já ser possuidor do material, mas com outras características, este serve igualmente bem. Não deve adquirir outro material!
(*) Apenas este material é necessário diariamente. O restante deve ficar em casa até ser solicitado.
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DEFINIÇÃO DE "ALGARISMO", "NÚMERO" & "NUMERAL"
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Algarismo - Símbolo/sinal árabe que, só por si, não tem qualquer significado. É usado na constituição de números.
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Número - Expressão de quantidade / que designa uma quantidade. Elemento de um conjunto que pode ser posto em relação biunívoca com elementos de outro conjunto. Um número é constituído por um ou mais algarismos.
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Numeral - Toda e qualquer maneira diferente que se possa encontrar para representar um número. Tal leva-nos a dizer que qualquer número é um numeral, embora o contrário não seja válido.
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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:
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POLIEDROS - Sólidos Geométricos limitados apenas por faces/superfícies planas.
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NÃO POLIEDROS - Sólidos Geométricos que apresentam, pelo menos, uma superfície curva.
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POLIEDROS REGULARES - Poliedros cujas faces são todas iguais.
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OS CILINDROS:
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a) Duas bases planas geometricamente iguais e paralelas;
b) Uma superfície lateral curva.
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CILINDRO CIRCULAR - Cilindro cujas bases são círculos.
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CILINDRO RECTO - Cilindro cujas geratrizes são perpendiculares às bases.
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Um Cilindro que seja, simultaneamente, Circular e Recto, diz-se de Revolução.
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O Cilindro é de Revolução quando há uma figura geométrica que, ao rodar numa volta completa (rotação) em torno de um dos seus eixos, gera o Cilindro. Essa figura existe e é o Rectângulo.
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OS CONES:
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a) A base é plana;
b) A superfície lateral é curva.
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CONE CIRCULAR - Cone cuja base é um círculo.---
CONE RECTO - Cone cuja altura passa pelo centro do círculo.
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CONE OBLÍQUO - Cone cuja altura não passa pelo centro do círculo.---
Um Cone que seja, simultaneamente, Circular e Recto, diz-se de Revolução.---
O Cone é de Revolução quando há uma figura geométrica que, ao rodar numa volta completa (rotação) em torno de um dos seus catetos (triângulo rectângulo), gera o Cone. Essa figura existe e é o Triângulo Rectângulo.
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Entende-se por "catetos" os dois lados de um Triângulo Rectângulo que fazem 90º entre si, isto é, os dois lados perpendiculares.
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A ESFERA:
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a) Só tem superfície curva;
b) É o sólido gerado pela rotação de um semi-círculo, numa volta completa, em torno do eixo que contém o seu diâmetro.
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OS PRISMAS:
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a) As bases são polígonos geometricamente iguais e paralelos;
b) As faces laterais são paralelogramas.
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AS PIRÂMIDES:
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a) Uma face é um polígono qualquer;
b) As restantes faces são triângulos, que se encontram num mesmo ponto.
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POLÍGONO - Superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada.
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"Limitada" significa "que tem por fronteira"
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"Linha poligonal" é o mesmo que "Linha quebrada", portanto "não curva".
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Os polígonos são figuras geométricas. No entanto, o Círculo é uma figura geométrica que não é polígono, por apresentar uma linha curva fechada.
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As linhas podem ser poligonais, curvas (abertas ou fechadas) ou apresentarem os dois tipos, designando-se, por isso, de "Linhas Mistas".
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POLÍGONO REGULAR - Polígono que tem os lados todos iguais.
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FÓRMULA / IGUALDADE DE EULER:
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Em qualquer Poliedro, é possível verificar que F + V = A + 2
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F - Número de Faces
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V - Número de Vértices
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A - Número de Arestas
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CONJUNTO. DEFINIÇÃO DE CONJUNTO.
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No nosso dia-a-dia, quando nos exprimimos, utilizamos muitas palavras ou termos que nos dão a ideia de conjunto. É o caso das palavras, por exemplo, GRUPO, AGRUPAMENTO, COLECÇÃO, CARDUME, TURMA, ORQUESTRA, FAMÍLIA, etc.
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Em Matemática, definir um conjunto significa conhecer e identificar todos os elementos desse conjunto, de modo a poder afirmar-se, sem levantar dúvidas, que um dado elemento lhe pertence ou não.
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Um Conjunto é um agrupamento de elementos que têm, pelo menos, uma característica em comum.
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Os Números Naturais (IN) formam um Conjunto (1, 2, 3, 4, ...)
Os Números Inteiros (INo) formam outro Conjunto (0, 1, 2, 3, 4, ...)
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REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS:
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- Um Conjunto pode representar-se:
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a) Em Compreensão, usando chavetas;
b) Em Extensão, usando chavetas;
c) Em Diagrama de Venn.
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Um Conjunto representado em Compreensão contém, dentro de chavetas, uma ou mais características comuns a todos os seus elementos, e que só eles possuem.
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Um Conjunto representado em Extensão contém, dentro de chavetas, a designação ou nomes de todos os seus elementos.
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Um Conjunto representado em Diagrama de Venn contém, no interior de uma linha fechada, curva ou não, junto do respectivo ponto ou cruz, a designação de cada um dos seus elementos.
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O CONJUNTO VAZIO
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Um Conjunto vazio não tem nenhum elemento. O seu cardinal (#) é, portanto, zero.
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Exemplo:
A = {Números Inteiros entre 3 e 4}
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CONJUNTOS INFINITOS
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Um Conjunto Infinito contém um número infinito de elementos. É aquele que não pode representar-se em Extensão, por não ter fim, mas que pode ser representado em Compreensão.
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Exemplo:
B = {Números Pares}
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RELAÇÃO DE PERTENÇA
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Um elemento pertence ou não pertence a um Conjunto.
Se pertence, é elemento desse Conjunto.
Se não pertence, não é elemento desse Conjunto.
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Exemplos:
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O 3 é elemento do Conjunto dos Números Ímpares.
O 3 pertence ao Conjunto dos Números Ímpares.
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O 3 não é elemento do Conjunto dos Números Pares.
O 3 não pertence ao Conjunto dos Números Pares.
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DICAS-FICHA FORMATIVA / FICHA SUMATIVA:
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- Saber que as faces são superfícies planas;
- Arestas são linhas rectas que separam as faces e que unem dois vértices;
- Os pontos de encontro das arestas chamam-se vértices;
- Polígono é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada.Tem por fronteira uma linha que não apresenta curva;
- A Fórmula ou Igualdade de Euler é F + V = A + 2;
- A Fórmula ou Igualdade de Euler é válida para qualquer Poliedro, portanto, para qualquer sólido que não apresenta superfícies curvas;
- Um sólido não pode ser simultaneamente Poliedro e Não Poliedro;
- O polígono da base de um prisma ou de uma pirâmide pode ser qualquer um;
- Uma semi-recta tem princípio, mas não tem fim;
- Uma recta não tem nem princípio nem fim;
- Um segmento de recta tem princípio e fim.
...
- Desenhar, no quadriculado, a perspectiva de um sólido. (Ver Fichas de Trabalho).
...
- Definição de NÚMERO como sendo uma expressão de quantidade;
- Definição de ALGARISMO como sendo um sinal ou símbolo árabe que, só por si, não tem qualquer significado;
- Definição de NUMERAL como sendo uma maneira diferente de representar um número.
...
- Fazer as legendas do CÍRCULO, da CIRCUNFERÊNCIA e da COROA CIRCULAR, indicando raios, diâmetros, arcos e cordas.
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- Identificar alguns sólidos geométricos como, por exemplo, o Prisma Triangular;
- Contar Faces, Vértices e Arestas de alguns sólidos geométricos;
- Verificar a Igualdade de Euler para alguns Poliedros como, por exemplo, no CUBO:
F + V = A + 2
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14
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- Representar, em Extensão, um conjunto de sólidos poliedros;
- Representar, em compreensão, um conjunto de determinados sólidos;
- Representar, em Diagrama de Venn, um conjunto de sólidos.
...
EXEMPLO:
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A partir da lista: Cubo, Cilindro, Prisma, Cone, Pirâmide, temos:
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EM EXTENSÃO:
...
A = {Cilindro, Cone}
...
EM COMPREENSÃO:
...
A = {Sólidos Não Poliedros}
...
Para o Conjunto: F = {Números Pares maiores que 4 e menores que 10}, temos as seguintes características dos seus elementos:
...
- São Números Pares;
- São maiores que 4;
- São menores que 10.
...
Em Extensão, o Conjunto é F = {6,8}
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- Um Conjunto que não tem elementos, chama-se CONJUNTO VAZIO;
- Um Conjunto que tem princípio e fim, chama-se CONJUNTO FINITO;
- Um Conjunto que tem princípio, mas não fim, chama-se CONJUNTO INFINITO.
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- Reconhecer a planificação de um sólido geométrico.
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- Representar uma semi-recta num plano;
- Representar uma recta num plano;
- Representar um segmento de recta num plano.
(Ver Fichas de Trabalho)
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Para esta Ficha, são necessárias uma esferográfica de cor azul ou preta e uma régua. A máquina de calcular não é necessária. Não é permitido o uso de corrector. Quer a Ficha Formativa quer a Ficha Sumativa tem uma duração de 45 minutos.
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CORRECÇÃO DE UMA FICHA FORMATIVA
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1. Um Polígono é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada.
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2. Sólidos Poliedros são sólidos que só têm faces planas; Sólidos Não Poliedros são sólidos que têm, pelo menos, uma superfície curva.
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3. O Círculo não é um polígono, porque só tem uma linha curva fechada; não tem linha poligonal.
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4. "Número" é uma expressão de quantidade; faz parte de um conjunto de elementos que podem ser postos em relação biunívoca com elementos de outro conjunto. "Algarismo" é um sinal/símbolo árabe que, só por si, não tem qualquer significado. "Numeral"é uma maneira diferente de representar um número.
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5.
Para o Prisma Triangular:
F + V = A + 2
5 + 6 = 9 + 2
11 = 11
.
Para o Cubo:
F + V = A + 2
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14
.
6. Uma Aresta é uma fronteira entre duas faces. Uma Aresta é, portanto, o ponto de encontro de duas faces.
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7.1. A = { 2 ; 4 ; 12 }
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7.2. B = { 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 17 }
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7.3.
7.4. Cada um dos Conjuntos A e B é um Conjunto Finito.
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7.5. O Conjunto C da questão 7.3. é um Conjunto Vazio.
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CORRECÇÃO DE UMA FICHA SUMATIVA
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1.1. V
1.2. F
1.3. V
1.4. F
1.5. F
1.6. V
1.7. F
1.8. F
1.9. V
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1.10. Arestas são as linhas rectas que separam as faces e que unem dois vértices.
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2.
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3. A definição mais correcta de Número é: d) Expressão de quantidade.
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4.
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1 - Círculo
2 - Circunferência
3 - Coroa Circular
4 - Arco
[AD] - Raio
[AB] - Diâmetro
[DC] - Raio
[EF] - Corda
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5.1.
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1 - Cubo
2 - Pirâmide Quadrangular
3 - Prisma Triangular
4 - Cilindro
.
5.2.
Faces - 6
Vértices - 8
Arestas - 12
.
5.3. O sólido 2 tem 8 arestas.
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5.4. O sólido 3 tem 6 vértices.
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5.5. Para o sólido 2:
.
F + V = A + 2
5 + 5 = 8 + 2
10 = 10
.
5.6. A = { 4 }
.
5.7. B = { Poliedros }
.
5.8.
.
6.1. E = { 5 ; 7 ; 9 }
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6.2. Características: são Números Ímpares, são maiores de 3 e são menores de 10.
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6.3. Exemplos de respostas aceitáveis:
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F = { 5 } ou F = { 7 } ou F = { 9 } ou F = { 5 ; 7 } ou F = { 7 ; 9 } ou F = { 5 ; 9 } ou F = { }
.
7.1. A = { 2 ; 4 ; 12 }
.
7.2. B = { 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 17 }
.
7.3.
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7.4. O Conjunto da questão 7.3. tem o nome de Conjunto Vazio.
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7.5. Os Conjuntos das questões 7.1. e 7.2. são Conjuntos Finitos.
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7.6. Exemplos: Conjunto dos Números Pares / Ímpares / Inteiros / Naturais, etc.
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8. Deve ser assinalada a planificação A.
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9. (9.1. / 9.2. / 9.3.):
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O PLANO. O PONTO. A RECTA.
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O Plano é uma superfície plana ilimitada.
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Para designar um Plano, utilizam-se as letras do alfabeto grego.
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Um Ponto pode ser visto como uma "partícula" em suspensão no Plano, e representa-se por letras maiúsculas.
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Por um Ponto do Plano, passa um número infinito de linhas rectas.
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Por dois Pontos do Plano, passa uma e uma só linha recta.
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Quando numa recta escolhemos um dos sentidos, obtemos uma recta orientada.
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Segmentos de Recta Geometricamente Iguais são segmentos de recta que têm o mesmo comprimento, isto é, quando sobrepostos, coincidem ponto por ponto.
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A distância entre dois pontos A e B é o comprimento de [AB], isto é, o comprimento que vai desde A (início) até B (fim).
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Perímetro de um Polígono é o comprimento da sua linha poligonal fechada. Essa linha é fronteira do Polígono.
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SUCESSOR. ANTECESSOR. NÚMEROS CONSECUTIVOS.
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Todos os Números Inteiros têm um Sucessor.
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Todos os Números Naturais têm um Sucessor.
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O Sucessor de um Número obtém-se adicionando-lhe uma unidade.
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Todos os Números Inteiros têm um Antecessor, excepto o número zero.
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Todos os Números Naturais têm um Antecessor, excepto o número 1.
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O Antecessor de um Número obtém-se subtraindo-lhe uma unidade.
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Dois Números dizem-se consecutivos se um deles for sucessor do outro.
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NÚMEROS DECIMAIS.
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Números Decimais são números que se representam entre dois Números Inteiros consecutivos, na recta numérica.
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A leitura de um Número Decimal pode ser feita de duas maneiras:
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a) Lendo cada algarismo e o nome da ordem que representa;
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b) Dividindo-o, da direita para a esquerda, em classes de três algarismos, lendo cada número assim obtido, e o nome da classe respectiva.
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Assim, para a representação simbólica 3,4 temos as seguintes duas representações fonéticas (leituras):
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1. Três unidades e quatro décimas;
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2. Trinta e quatro décimas.
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PARES ORDENADOS.
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No Par Ordenado (4,13), 4 é o 1º elemento do Par Ordenado.
No Par Ordenado (4,13), 13 é o 2º elemento do Par Ordenado.
Os elementos do Par Ordenado escrevem-se dentro de parênteses curvos e separados por vírgula ou ponto e vírgula.
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Se se trocar a ordem dos seus elementos, obtém-se um novo Par Ordenado (13,4) diferente do anterior (4,13).
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DEFINIÇÃO DA OPERAÇÃO ADIÇÃO.
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Sendo a e b dois números quaisquer, a operação que faz corresponder ao Par Ordenado (a,b) o número a+b, é a Adição, em que "a" é a 1ª parcela; "b" é a 2ª parcela; "a+b" é a soma ou total e "+" é o símbolo da operação Adição.
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DEFINIÇÃO DA OPERAÇÃO SUBTRACÇÃO.
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Sendo a e b dois números em que "a" é maior ou igual a "b", a operação que ao Par Ordenado (a,b) faz corresponder o número a - b ou c, é a Subtracção, em que "a" é o Aditivo; "b" é o Subtractivo; "a - b ou c" é a Diferença, Excesso ou Resto e "-" é o símbolo da operação Subtracção.
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DEFINIÇÃO DA OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO.
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Sendo a e b dois números quaisquer, a operação que faz corresponder ao Par Ordenado (a,b) o número a x b, é a Multiplicação, em que "a" é o 1º Factor; "b" é o 2º Factor; "axb" é o produto e "x" é o símbolo da operação Multiplicação.
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DEFINIÇÃO DA OPERAÇÃO DIVISÃO.
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Sendo a e b dois números em que b é diferente de zero, a operação que ao Par Ordenado (a,b) faz corresponder o par de números (q,r), em que "q" é sempre menor que "b", é a Divisão Inteira.
"a" é o Dividendo;
"b" é o divisor;
"q" é o quociente de a por b;
"r" é o resto;
":" é o símbolo da operação Divisão.
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO E DA MULTIPLICAÇÃO.
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a + b = b + a .......... Propriedade Comutativa da Adição
a x b = b x a .......... Propriedade Comutativa da Multiplicação
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(a + b) + c = a + (b + c) .......... Propriedade Associativa da Adição
(a x b) x c = a x (b x c) .......... Propriedade Associativa da Multiplicação
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a + 0 = 0 + a = a .......... Existência de Elemento Neutro da Adição
a x 1 = 1 x a = a .......... Existência de Elemento Neutro da Multiplicação
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a x 0 = 0 x a = 0 .......... Existência de Elemento Absorvente da Multiplicação
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PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO:
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a) Em relação à Adição:
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a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
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b) Em relação à Subtracção:
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a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
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ALGUMAS NOTAS:
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Em Matemática, utilizam-se os parênteses curvos para indicar quais os cálculos que se devem efectuar em primeiro lugar.
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O Aditivo é igual à soma da diferença com o subtractivo - Identidade Fundamental da Subtracção.
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Numa Expressão Numérica que tenha parênteses curvos, efectuam-se, em 1º lugar, os cálculos indicados dentro destes. Se não existem parênteses curvos, e se figuram na Expressão Numérica apenas somas e diferenças, os cálculos deverão ser efectuados da esquerda para a direita.
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DICAS-FICHA FORMATIVA / FICHA SUMATIVA
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Saber:
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a) Nem todo o número tem antecessor. No Conjunto dos Números Inteiros, o zero não tem antecessor. No Conjunto dos Números Naturais, o 1 não tem antecessor;
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b) No entanto, naqueles dois Conjuntos (Inteiros e Naturais), todo o Número tem sucessor;
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c) O facto de um Número ser maior do que outro não implica que sejam consecutivos. Por exemplo, o 99 é maior que o 2 e, no entanto, estes dois números não são consecutivos;
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d) O Par Ordenado (a,b) não é o mesmo que o Par Ordenado (b,a). No entanto, para a Adição e para a Multiplicação, aqueles Pares Ordenados são iguais para efeitos de resultado da operação;
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e) Segmentos de Recta Geometricamente Iguais são segmentos que têm o mesmo comprimento, isto é, quando sobrepostos, coincidem ponto por ponto;
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f) "PERÍMETRO" de uma figura é a sua medida a toda a volta. É, portanto, o comprimento da linha que limita a figura. "Perímetro de um Polígono" é o comprimento da sua linha poligonal fechada;
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g) A Expressão Numérica do Perímetro de um quadrado [ABCD] é:
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P = comprimentos AB + BC + CD + DA;
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h) Classificação de Polígonos:
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Conforme tenha 3 lados, 4 lados, 5 lados, 6 lados, 7 lados, temos:
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Triângulo, Quadrilátero, Pentágono, Hexágono, Heptágono;
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i) Na Adição, temos Parcelas (1ª parcela, 2ª parcela,...). O resultado da operação chama-se Soma ou Total;
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j) Na Subtracção, temos Aditivo e Subtractivo. O resultado da operação chama-se Resto, Diferença ou Excesso;
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k) Na Multiplicação, temos factores (1º factor, 2º factor,...). Também podem ser chamados de Multiplicando e Multiplicador. O resultado da operação chama-se produto;
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l) Na Divisão, temos Dividendo, Divisor, Quociente e Resto. O resultado da operação chama-se Quociente;
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m) A marcação de Pontos dados através de Pares Ordenados, num gráfico cartesiano, faz-se cruzando o valor do eixo dos x com o valor do eixo dos yy;
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n) a + b = b + a ---------- a x b = b x a ---------- Propriedade Comutativa
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o) (a x b) x c = a x (b x c) ---------- Propriedade Associativa
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p) (a + b) + c = a + (b + c) ---------- Propriedade Associativa
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q) a + 0 = 0 + a = a ---------- Existência de Elemento Neutro
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r) a x 1 = 1 x a = a ---------- Existência de Elemento Neutro
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s) a x 0 = 0 x a = 0 ---------- Existência de Elemento Absorvente
.
t) a x (b + c) = (a x b) + (a x c) ---------- Propriedade Distributiva
.
u) a x (b - c) = (a x b) - (a x c) ---------- Propriedade Distributiva
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v) Relações de Pertença e de Não Pertença. Um elemento pertence ou não pertence a um Conjunto;
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w) As Expressões 2 x 50 = 50 x 2 são iguais em termos de valor, mas não são iguais em termos de significado;
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y) Escrever a Expressão Numérica de um Problema e resolvê-la:
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Exemplo:
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O Manuel comprou 2 caixas com 5 berlindes brancos, 3 caixas com 5 verdes, 4 caixas com 17 amarelos e 1 caixa com 10 berlindes azuis.
Expressão Numérica do Problema e sua resolução:
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2 x 5 + 3 x 5 + 4 x 17 + 1 x 10 =
10 + 15 + 68 + 10 = 103
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z) A Expressão 2 + 3 + 4 + 1 significa, para o problema, o número de caixas de berlindes que o Manuel comprou.
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Operação Multiplicação (Estudo pormenorizado):
a) Múltiplo de um Número;
b) Multiplicação por 10 / 100 / 1000 e por 0,1 / 0,01 / 0,001.
O conjunto dos múltiplos de qualquer número obtém-se multiplicando esse número pela sequência dos Números Inteiros.
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- O zero é múltiplo de todos os Números;
- Qualquer Número é múltiplo de si próprio;
- O conjunto dos múliplos de qualquer Número é um Conjunto Infinito.
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MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
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1,68 x 12 = 20,16 - O número de casas decimais de um produto é igual à soma do número de casas decimais dos seus factores.
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3,75 x 10 = 37,5
6,2 x 100 = 620
.
- Ao multiplicar um número por 10, a vírgula desloca-se um lugar para a direita;
- Ao multiplicar um número por 100, a vírgula desloca-se dois lugares para a direita;
- Ao multiplicar um número por 1000, a vírgula desloca-se três lugares para a direita.
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Para multiplicar um número decimal por 10, 100 ou 1000, desloca-se a vírgula para a direita tantas casas consoante o número de zeros (se necessário, acrescentam-se zeros).
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29,5 x 0,1 = 2,95
479,2 x 0,01 = 4,792
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- Ao multiplicar um número por 0,1 desloca-se a vírgula um lugar para a esquerda;
- Ao multiplicar um número por 0,01 desloca-se a vírgula dois lugares para a esquerda;
- Ao multiplicar um número por 0,001 desloca-se a vírgula três lugares para a esquerda.
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Para multiplicar um Número Decimal por 0,1 / 0,01 ou 0,001 desloca-se a vírgula para a esquerda tantas casas consoante o número de casas que se encontram à direita do zero (se necessário, acrescentam-se zeros).
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
- Para multiplicar um Número Inteiro por 10, 100 ou 1000, acrescenta-se à direita da sua representação, respectivamente, um zero, dois zeros, três zeros.
- Para multiplicar um Número Inteiro por 0,1 / 0,01 ou 0,001 desloca-se a vírgula para a esquerda tantas "casas" consoante as que se encontram à direita do zero (se necessário, acrescentam-se zeros).
Estimativa. Valor Aproximado:
a) Por Defeito;
b) Por Excesso.
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As Estimativas e os arredondamentos também são conhecidos como arredondamentos. Nestes casos, substituimoso "igual" ou o "exactamente igual" por "aproximadamente igual a".
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Como exemplo, perante a situação:
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11 x 18 = 198
.
Podemos, por alto, fazer 10 x 20 = 200
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200 é o número aproximado, uma vez que o número exacto é 198.
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A Operação Potenciação:
a) Definição;
b) Propriedades;
c) Leitura de Potências.
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POTENCIAÇÃO.
Um dos problemas das Olimpíadas de Matemática era o seguinte:
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"Nas duas maiores cidades de Portugal, foram encontrados, em cada uma, dois discos voadores e em cada disco, dois marcianos.
- Quantos marcianos apareceram em Portugal?"
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- Número de cidades - 2
- Número de discos em cada cidade - 2
- Número de marcianos em cada disco - 2
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- Número de marcianos em Portugal - 2 x 2 x 2 = 8
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2 x 2 x 2 - é um produto de três factores idênticos.
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Este produto pode representar-se de outra forma:
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Então, uma Potência pode representar-se por:
a) Um produto de factores idênticos;
b) Uma Base e um Expoente.
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Uma Potência é igual a um produto de factores idênticos.
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CURIOSIDADES:
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Há muitos anos, viveu na Pérsia um Xá que quis recompensar o inventor do jogo de xadrez.
O Xá ordenou-lhe que pedisse o que desejasse. O inteligente inventor, após pensar um pouco, pediu um grão de trigo pelo primeiro quadrado do tabuleiro, dois grãos pelo segundo, quatro pelo terceiro, e assim sucessivamente, até chegar à 64ª casa.
O Xá ficou desapontado, porque o homem tinha pedido muito pouco... Passado algum tempo, o Ministro do trigo, muito preocupado, veio ter com o Xá, pois todo o trigo do reino não chegava para pagar ao camponês inventor.
Na 16ª casa, seriam 33000 grãos;
Na 64ª casa, seria de 184 seguido de 17 zeros, isto é:
- 18 400 000 000 000 000 000 grãos.
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DEFINIÇÃO:
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LEITURA DE POTÊNCIAS
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A Operação Potenciação:
a) Potências de Base 10;
b) Operações com Potências.
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Recorre-se, muitas vezes, a potências, com Base e Expoente, quando pretendemos representar números muito grandes, utilizando-se, quase sempre, Potências de Base 10. Esta notação é conhecida como Notação Científica, e é a usada pelas máquinas de calcular científicas.
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Exemplos de problemas, em que a Expressão Numérica solicitada pode ser apresentada por um produto de factores iguais ou, simplesmente, por uma Potência:
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01. Um prédio tem 4 andares, em cada andar 4 apartamentos e em cada apartamento 4 assoalhadas.
- Quantas assoalhadas tem o prédio?
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4 x 4 x 4 ou quatro elevado a três = 64 assoalhadas.
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02. Num armazém, existem 6 caixotes com 6 caixas, tendo cada uma 6 pacotes de 6 lápis.
- Quantos lápis há no armazém?
6 x 6 x 6 x 6 ou seis elevado a quatro = 1296
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PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:
Estas propriedades só existem para a Multiplicação e Divisão.
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DICAS-FICHA FORMATIVA / FICHA SUMATIVA:
a) 4 x 0 = 0 x 4 traduz a Propriedade Comutativa da Multiplicação;
b) 4 x 0 = 0 x 4 = 0 traduz a Existência de Elemento Absorvente da Multiplicação;
c) Todo e qualquer Número é múltiplo de si próprio;
d) Numa Potência, a Base é o Factor que se repete;
e) Numa Potência, o Expoente é o número de vezes que a Base se repete;
f) Os Múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5. Não é o mesmo que dizer "terminam em 0 e 5";
g) A Propriedade Distributiva da Multiplicação em relação à Adição permite-nos escrever o seguinte:
4 x ( 7 + 1 ) = 4 x 7 + 4 x 1
h) A expressão 3 x ( 6 + 3 ) pode ser resolvida:
1. Utilizando a Propriedade Distributiva - (3 x 6) + (3 x 3) = 18 + 9 = 27;
2. Sem utilizar a Propriedade Distributiva - 3 x ( 6 + 3 ) = 3 x 9 = 27;
i) O 1º elemento de um conjunto de múltiplos de um número é sempre o zero. Como exemplo, Múltiplos de 50 = { 0 ; 50 ; 100 ; 150 ; 200 ; 250 ; 300 ; ... };
j) O 20 é Múltiplo de 1, de 2, de 4, de 5, de 10 e de 20, porque, ao ser dividido por qualquer um destes números, o resto da Divisão é sempre zero;
k) Para o produto - 46,7 x 10,4:
O valor exacto obtém-se resolvendo pela Multiplicação. É 485,68.
O valor aproximado por defeito a menos de uma décima é 485,6.
O valor aproximado por excesso a menos de uma décima é 485,7.
l) Reveja a legendagem de uma Potência de Base e Expoente;
m) Reveja, nesta página a maneira como é feita a leitura de Potências;
n) Escrita da Expressão Numérica de um Problema:
"Tenho 4 caixas, cada uma das quais tem outras 4 caixas no seu interior, e estas, por sua vez, contêm, no seu interior, 4 objectos.
- Quantos objectos há ao todo?" - a Expressão Numérica é 4 x 4 x 4. Também pode ser escrita sob a forma de Potência;
o) Saber completar uma Multiplicação, em pé, já semi-preenchida;
p) Numa Tabela de Dupla Entrada:
1. A operação é Comutativa se os elementos acima da diagonal principal forem iguais aos elementos abaixo dela;
2. A operação tem Elemento Neutro se houver uma fila/coluna igual à 1ª fila/coluna;
3. A operação tem Elemento Absorvente se houver uma fila e uma coluna com os elementos todos iguais;
4. A Propriedade Associativa é (a * b) * c = a * (b * c).
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CORRECÇÃO DE UMA FICHA FORMATIVA
CORRECÇÃO DE UMA FICHA SUMATIVA
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DICAS PARA A FICHA FORMATIVA
DICAS PARA A FICHA SUMATIVA
Divisão e Radiciação
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Última atualização: 01/02/2018 - 18:19H
